Propiedades de las relaciones

Relación binaria heterogénea

Artículo principal: Correspondencia matemática.

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:

$R (a,b): \; (a,b) \in A \times B \quad \land \quad A \ne B$

Lo que también se llama correspondencia matemática.⁵ ⁶

A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color.

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

En el diagrama podemos ver el conjunto inicial de pinceles P, sobre el que esta definida la relación:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos forman el conjunto origen:

$O = \{ \,$

$\} \,$

Y el conjunto final de caras pintadas C es:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen:

$I = \{ \,$

$\} \,$

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:

$R =\, \{($

$) , \, ($

$) \}\,$

Una relación binaria homogénea:

$R (a,b): \; (a,b)\in A \times A$

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se esta tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

[editar]Propiedades de las relaciones binarias heterogénea

Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

[editar]Condición de existencia de imagen. (ei)

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B.

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.

En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el C de las caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

[editar]Condición de existencia de origen. (eo)

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.

$\forall b \in B: \; \exists a \in A \quad \land \quad (a,b)\in R.$

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.

Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el conjunto C de caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

[editar]Condición de unicidad de imagen. (ui)

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:

$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$

si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Y el conjunto final C, de caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

[editar]Condición de unicidad de origen. (uo)

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:

$\Big ( (a_1,b)\in R \quad \and \quad (a_2,b) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a_1 = a_2.$

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el conjunto final C de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

jueves, 28 de junio de 2012

Relación binaria heterogénea

[editar]Propiedades de las relaciones binarias heterogénea

[editar]Condición de existencia de imagen. (ei)

[editar]Condición de existencia de origen. (eo)

[editar]Condición de unicidad de imagen. (ui)

[editar]Condición de unicidad de origen. (uo)

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