Propiedades de las relaciones

Dado el conjunto A:

$A = \{a, b, c, d \} \,$

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

$R \subset A^2$

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

$a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d$

$d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a$

o como conjunto de pares ordenados:

$R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \} \,$

También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia de A sobre A:

$R: A \rightarrow A$

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto $A \times A$ de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de $A \times A$ que contiene todos los pares de elementos relacionados.

d	(a, d)	(b, d)	(c, d)	(d, d)
c	(a, c)	(b, c)	(c, c)	(d, c)
b	(a, b)	(b, b)	(c, b)	(d, b)
a	(a, a)	(b, a)	(c, a)	(d, a)
A×A	a	b	c	d

Si el producto $A \times A$ es:

$A \times A$	$= \{ \,$	$(a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d),$
		$(b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d),$
		$(c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d),$
		$(d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d)$	$\} \,$

el conjunto R de la relación binaria se representa:

$R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,$

Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

[editar]Propiedades de las relaciones binarias homogénea

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

[editar]Propiedad reflexiva

Artículo principal: Relación reflexiva.

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

$\nexists a \in A : \; (a,a) \notin R$

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

[editar]Propiedad irreflexiva

Artículo principal: Relación irreflexiva.

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

$\forall a \in A : \; (a,a) \notin R$

Que también puede expresarse

$\nexists a \in A : \; (a,a) \in R$

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

[editar]Propiedad simétrica

Artículo principal: Relación simétrica.

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R$

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a)tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

$\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \notin R$

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

[editar]Propiedad antisimétrica

Artículo principal: Relación antisimétrica.

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

$\forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a = b$

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a

$\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \quad \land \quad a \ne b$

[editar]Propiedad transitiva

Artículo principal: Relación transitiva.

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c:

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad (a,c) \in R$

[editar]Propiedad total

Artículo principal: Relación total.

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R$

[editar]Relación bien fundada

Artículo principal: Relación bien fundada.

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si pata todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en Btal que para todo b de B, y b sistinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.

$\forall B \subset A \; , \quad \exists m \in B \; : \quad \forall b \in B \; \land \; b \ne m \; : \quad (b,m) \notin R$

Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que el elemento mínimo de ese subconjunto.

Propiedades de las relaciones

jueves, 28 de junio de 2012