jueves, 28 de junio de 2012


Relación reflexiva
La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.
Las relaciones reflexivas son las definidas así:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}
Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

 El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.
RelaRef 01.svg
Dado un conjunto A, formado los siguientes elementos:

   A =
   \{ a, b, c, d \} \;
Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:

   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d)
   \Big \}
Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:

   (a,a) \in \R \quad
   (b,b) \in \R \quad
   (c,c) \in \R \quad
   (d,d) \in \R
Luego la relación R es reflexiva.
RelaRef 11.svg
La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas.
En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.
RelaRef 21.svg
En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva
Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.
En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.
[editar]Relación no reflexiva
RelaRef 00.svg
Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las irreflexivas en las que ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo, puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:

   \mbox{Relaciones homogéneas}
   \begin{cases}
      { \color{Blue}\mbox{reflexivas}} \\
      \mbox{no reflexivas}
      \begin{cases}
         { \color{Red}\mbox{irreflexivas}}\\
         { \color{Green}\mbox{no reflexivas y no irreflexivas}}
      \end{cases}\\
   \end{cases}
Las relaciones irreflexivas es un caso de las no reflexivas.
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}
Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:
1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta relacionado consigo mismo.

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
También podemos decir que una relación es irreflexiva si:

   \nexists a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R
Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado consigo mismo.
RelaRef 05.svg
Dado el conjunto:

   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
y la relación entre los elementos de este conjunto:

   \R =
   \Big \{
   (a,b), (b,c), (d,b)
   \Big \}
Podemos ver que:

   (a,a) \notin \R \quad
   (b,b) \notin \R \quad
   (c,c) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.
RelaRef 25.svg
La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.
La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
y si es irreflexiva, se cumple:

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:
Una relación binaria es no reflexiva si:

   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \notin R
Y una relación es no irreflexiva cuando:

   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R
Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:

   \begin{cases}
      \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R  \\
      \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
   \end{cases}
veamos un ejemplo, dado el conjunto:

   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
RelaRef 03.svg
En la que se ha definido la relación binaria:

   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b)
   \Big \}
Podemos ver que:

   (a,a) \in \R \quad
   (c,c) \in \R
Y también que:

   (b,b) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R
Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.
RelaRef 23.svg
Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.
En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:
  • Relaciones reflexivas
  • Relaciones irreflexivas
  • Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.
Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.
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2 comentarios:

  1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  2. Inicialmente me parece bien explicado.

    Seria ideal mas ejemplos.
    Sea A = {1,3,5}
    R1 = {(1,3),(3,5),(1,1),(5,1),(5,5),(3,1),(3,3)} es reflexiva en A.
    R2 = {(1,1),(5,3),(5,5),(3,1)} no es reflexiva en A.

    Pregunto:
    R2 no es reflexiva por falta (3,3) en cambio R1 si lo es porque tiene (1,1),(5,5),(3,3)

    Otra pregunta: las parejas por ejemplo (1,1) o (5,3) se pueden llamar elementos de la relaciones

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